可分离变量的微分方程通解求法 求一道分离变量微分方程的通解

xy'-ylny=0 → dy/dx=(ylny)/x → 分离变量得: dy/(ylny)=dx/x
→ d(lny)/lny=d(lnx) ※之所以得出这一步是因为 d(lny)=dy/y ※
→ 两边积分得: ∫d(lny)/lny = ∫d(lnx)
→ ln|lny|=ln|x|+ln|C| ，C是任意不为0的常数(取成ln|C|纯粹是为了最后表达方便)
→ 两边取指数得：lny=Cx
可以验证，当C=0，即 y≡1 时，y=1也是微分方程xy'-ylny=0的一个解
综上所述，微分方程的通解是：lny=Cx 也即 y=e^(Cx) ，C为任意常数。

▲其实一阶常微分方程的初等解法（包括分离变量法）是微分方程理论中最基础也最简单的内容，必须牢牢掌握！如果感觉阅读这一部分内容有困难，请务必复习一下一元微积分的基础知识！

方程两边同时乘以x^2得 x^2*y' 2x*y=x^4 而(x^2*y)'=x^2*y' 2x*y 所以：(x^2*y)'=x^4 积分得：x^2*y=(x^5)/5 a 即：y=(x^3)/5 a/(x^2)

(1+y^2)dx-x(1+x^2)ydy=0
(1+ y^2)dx=x(1+x^2)ydy
1/((x^2+1)x)dx=y/(1+y^2)dy
左边积分：设x=tana dx=sec^2ada
左边=cota/sec^2a*sec^2ada=cotada=1/sinadsina
两边积分：
lnsina=1/2ln(1+y^2)+C
ln(sina)^2=ln(c(1+y^2))
1/csc^2a=c(1+y^2)
1/(1+cot^2a)=c(1+y^2)
x^2/(1+x^2)=c(1+y^2)

1. 凡经过积分的不定积分，均需加常数c(constant )，至于加c1或c2或c，这本身不是问题，你也可以用a、b等随意一个字母来表示，不过一般是用c，因为它是英文constant的首字母。

只是为了区分各个步骤中的常数，防止混乱，并且每经过一步运算，常数在下一步中可能变成了另一个常数，所以变换一下，只是为了区分，没有什么意义。

2。说e的c1次幂是任意常数是对的，因为c1是任意常数，当然e的幂次方也就是常数喽。

用e不是随便用的，地在积分运算过程中产生的，比如e^x这样的式子积分后，或者1/x类似的式子积分后的lnx，为了便于计算，会转化为指数e的式子，如上式即是。